Une conséquence perturbante de la non-inversibilité de certaines matrices non nulles

Une conséquence de la non-inversibilité de certaines matrices non nulles est que l'on peut avoir pour des matrices  \(AB=0\)  avec  \(A\)  et  \(B\)  non nulles !

Reprenons la démonstration faite en classe de seconde pour justifier la technique des équations produits avec un second membre nul.

Soit  \(a\)  et  \(b\)  deux réels tels que  \(ab=0\) .
On peut considérer deux cas :  \(a=0\)  ou  \(a≠0\) .

Dans le second cas, comme tout réel non nul est inversible, en divisant par  \(a\)  les deux membres de l'équation  \(ab=0\) , on obtient  \(b=0\) . On a donc prouvé que si  \(ab=0\) , alors  \(a=0\)  ou  \(b=0\) .

Cela ne fonctionne pas avec les matrices, car il existe des matrices non nulles et non inversibles !